Die Grassmann'schen Gesetze

Rainer Zwisler

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Grassmann's (1853) Gesetze besagen, daß sich additive Farbmischung als positive Halbgruppe mit Aufhebungseigenschaft und Intensitätsveränderungen als skalare Vektormultiplikation auffassen lassen:

DEFINITION 1: Eine Grassmann-Struktur ist ein Quadrupel , wobei A eine Menge, eine Abbildung auf , ein Abbildung auf und eine binäre Relation auf A ist, die die Axiome 1 - 5 erfüllt.

1. ist eine kommutative Halbgruppe mit Aufhebungseigenschaft, d.h., für alle gilt:
   1. ;
   2. ;
   3. aus folgt a = b;
   4. .
   Also: Die additive Mischung von Farben, experimentell realisierbar beispielsweise durch Übereinander-Projezieren zweier Farben a, b, c aus der Menge der Farben A, erfüllt die Bedingungen für ein kommutative Gruppe mit Aufhebungseigenschaft, d.h. Addition macht Sinn.
   
2. ist eine Skalarmultiplikation auf , d.h., für alle und alle gilt:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. ;
   5. .
   Also: Die Multiplikation mit einer skalaren Konstanten t läßt sich al skalare Multiplikation auf beschreiben; es handelt sich dabei um die Variation der Intensität (Helligkeit) eines Farbreizes.
   
3. Gesetze der Äquivalenz: ist eine Äquivalenzrelation auf A, d.h., für alle gilt:
   1. ;
   2. wenn , dann ;
   3. wenn und , dann .
   Also: Dieses Gesetz befaßt sich mit der Metamerierelation , die empirisch Farbmatches entspricht. Farben lassen sich dementsprechend als Äquivalenzklassen subjektiv gleichartiger Farbreize - ausgedrückt durch die Relation - definieren.
   
4. Gesetze der Additivität: Für alle gilt

   

   Dieses Gesetz, auch als drittes Grassmann'sches Gesetz bekannt, beschäftigt sich mit der Verträglichkeit von uns : Die Metamerierelation zwischen zwei Farben bleibt auch dann erhalten, wenn zu beiden eine jeweils gleiche dritte Farbe hinzugemischt wird.
   

5. Gesetze der skalaren Multiplikation: Für alle und alle gilt:

   

   Dieses Gesetz beschäftigt sich mit der Verträglichkeit von uns . Die Metamerierelation zwischen zwei Farben bleibt auch dann erhalten, wenn die Intensität beider Farben um den gleichen Betrag erhöht/verringert wird.
   

6. Gesetze der Trichromatizität, das sogenannte erste Grassmann'sche Gesetz:
   1. Zu allen existieren mit für wenigstens ein , so daß gilt:

      

      Werden die selben vier Farben in unterschiedlichen Verhältnissen gemischt, lassen sich dennoch immer verschiedene Mischungsverhältnisse finden, die dennoch metamere Reize bilden (d.h. bei vier Farben gibt es immer verschiedene Möglichkeiten, sie zu einer bestimmten Farbe zu kombinieren).
      

   2. Es existieren beliebige Reize , so daß für beliebige aus

      

      Metamerie einer Mischung aus drei Farbreizen läßt sich nur bei gleichem Mischungsverhältnis erzeugen (d.h. bei drei Farben gibt es genau eine einzige Möglichkeit, diese so zu mischen, daß deren Mischung zu einer bestimmten anderen Farbe metamer ist).

Eine Menge , die die Bedingung (6b) erfüllt, nennt man Basis oder auch Menge der Primärfarben.

THEOREM 1 (Repräsentationssatz): Sei eine Grassmann-Struktur. Dann existieren ein Vektorraum V über , ein konvexer Kegel und eine Abbildung von A nach C, so daß für alle und gilt:

1. ;
2. ;
3. genau dann, wenn ;
4. es existieren , so daß .

Die Abbildung ist ein Homomorphismus der Grassmann-Struktur auf , wobei C ein konvexer Kegel in V ist; die Eigenschaft 4 garantiert dabei, daß es sich bei V um einen minimalen Vektorraum handelt, da sich jedes Element von V als Differenz von Elementen und aus C erzeugen läßt.

THEOREM 2 (Eindeutigkeitssatz): Sei eine Grassmann-Struktur mit zwei Homomorphismen auf konvexen Kegeln C, C' in den Vektorräumen V, V', die die Bedingungen 1-4 des Theorems 1 erfüllen. Dann existiert eine nichtsinguläre Abbildung T von V auf V', so daß für alle gilt:

Die Abbildung ist eindeutig bis auf nichtsinguläre lineare Transformationen.

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Last modified 10-29-98